Il corso di Logica Matematica 2 si propone di introdurre due importanti strumenti per produrre dimostrazioni di consistenza relativa: la realizzabilità e il forcing.
Lezioni: Lunedì e Martedì dalle ore 10:30 alle ore 12.00 (+ε) in aula 2AB40 Torre Archimede
Ricevimento: su appuntamento (ufficio 438 Torre Archimede)
PROGRAMMA DETTAGLIATO
2 ottobre: Campi ordinati, R è un campo ordinato, R^U non lo è se U ha almeno 2 elementi. Teoria formale dei campi ordinati. R è un modello della teoria. Valutazione a valori in P(U).
8 ottobre: Un modello a valori booleani per la teoria dei campi ordinati. Algebre di Boole. Caratterizzazioni. Esempi. Algebre di insiemi. Teorema di rappresentazione (con cenni di dim.)
9 ottobre: Proprietà di base delle algebre di Boole, Filtri di un'algebra di Boole, Teorema di Rappresentazione. Aperti regolari.
15 ottobre: Algebra di Boole complete: algebra degli aperti regolari e algebra di misura.
16 ottobre: CCC --> Completa. Richiamo su ordinali, cardinali, induzione e ricorsione transfinita e gerarchie dei V_α
22 ottobre: V^B. Appartenenza e uguaglianza in V^B. Sintassi, assiomi e regole di ZF. Interpretazione delle formule in contesto in V^B. Teorema di consistenza relativa.
23 ottobre: Gli assiomi logici e le regole di ZF sono validati da V^B.
29 ottobre: Lezione annullata per allarme meteo
30 ottobre: Lezione annullata per allarme meteo
5 novembre: V^B valida gli assiomi di estensionalità, separazione, unione, coppia, potenza e infinito.
6 novembre [2.67 ore]: parti, unione in V^B. Assiomi di rimpiazzamento e epsilon Induzione in V^B. Miscele. Mixing lemma. Principio del massimo. Nuclei. Esistenza dei nuclei.
12 novembre[2.66 ore]: V^B valida il lemma di Zorn.
13 novembre [2.67 ore]: L'indipendenza di CH.
II PARTE (20 ore)
19 novembre: BHK. Macchine a registro illimitato (URM). Funzioni parziali URM-computabili. Zero, successore e proiezioni sono URM-computabili. Le funzioni parziali URM-computabili sono chiuse rispetto alla composizione.
20 novembre (2.66 ore) : Le funzioni parziali URM-computabili sono chiuse rispetto alla ricorsione. Funzioni primitive ricorsive. Esempi. Le funzioni parziali URM-computabili sono chiuse rispetto all'operatore di minimo. Funzioni ricorsive. La funzione di Ackermann. Tutte le funzioni URM-computabili sono ricorsive.
26 novembre: Codifica delle funzioni computabili e macchina universale
27 novembre (2.67 ore): Algebre combinatorie parziali
3 dicembre: Algebre combinatoria parziali e strutture di algebra di Heyting derivate
4 dicembre (2.67 ore): Aggiunzioni.
10 dicembre: HA e Realizzabilità di Kleene.
11 dicembre: HA e Realizzabilità di Kleene.
17 dicembre: CT. MP. Existence Property. Disjunction property. LEM.
LEZIONE CONCLUSIVA (2 ore)
18 dicembre: Riepilogo e cenni ad un approccio categoriale.
DISPENSE e MATERIALE (verranno caricate man mano che il corso avanza, vi prego di segnalarmi refusi dato che si tratta della prima versione...)
[16/10] Prerequisiti di teoria degli insiemi [un qualsiasi libro di teoria degli insiemi, ad esempio Jech: Set Theory o Kunen: Set Theory, parti sugli ordinali, cardinali e induzione transfinita]
[1/10] Introduzione alla prima parte
Un esempio giocattolo (appunti gentilmente forniti da Matteo Capucci)
[2-8-9-15-16/10] Algebre di Boole
[22-23/10- 5-6/11] Modelli a valori booleani
[6-12-13/11] Forcing [Bell-Boolean valued models and independence proofs in set theory, parti del capitolo 1 e 2]
[19-20-26/11] Elementi di computabilità [Cutland- Computability: an introduction to recursive function theory, primi cinque capitoli]
27-11 PCA
03-12 Un'algebra di Heyting da una PCA [corrette]
04-12 Aggiunzioni e HA [corrette]
10/11-12 Modelli in una PCA
17-12 Risultati
18-12 Conclusioni
ESEMPI DI POSSIBILI ARGOMENTI PER IL SEMINARIO D'ESAME
(in corsivo approfondimenti)
Algebra di Boole e teorema di rappresentazione.
L'algebra di Boole completa degli aperti regolari.
L'algebra di Boole completa derivante da uno spazio di probabilità.
I modelli booleani per ZF. Come sono definiti e come si verifica la validità degli assiomi.
Validità dell'assioma di scelta nei modelli booleani.
La dimostrazione dell'indipendenza di CH.
Macchine a registro illimitato ed equivalenza tra funzioni computabili e ricorsive.
La funzione di Ackermann.
Altri modelli di computazione.
Il lemma s-m-n e il teorema della macchina universale.
Algebre combinatorie parziali e loro proprietà fondamentali.
La struttura di PCA sui numeri naturali.
Un altro esempio di PCA.
La realizzabilità di Kleene.
La dimostrazione del fatto che HA ha l'Existence property.
Iperdottrine.
Tripos-to-topos nel dettaglio.
TESTI CONSIGLIATI
1.Cutland, Nigel, Computability: an introduction to recursive function theory. --: Cambridge University Press, 1980.
2. van Oosten, Jaap, Realizability: an introduction to its categorical side. --: Elsevier, 2008.
3. Bell, John Lane, Boolean-valued models and independence proofs in set theory. --: Oxford: Claredon Press, 1977.
APPELLI D'ESAME
22 gennaio
5 febbraio
25 giugno
9 luglio
2 settembre
Lezioni: Lunedì e Martedì dalle ore 10:30 alle ore 12.00 (+ε) in aula 2AB40 Torre Archimede
Ricevimento: su appuntamento (ufficio 438 Torre Archimede)
PROGRAMMA DETTAGLIATO
I Parte (26 ore)
1 ottobre: Introduzione alla parte classica: Il principio di comprensione, cardinalità, teoremi di Cantor-Schroeder-Bernstein, teorema di Cantor, paradosso di Cantor, paradosso di Russell, assiomi di ZF, |N|<|R|, CH, Conseguenza del primo teorema di Goedel, CH è indipendente (obiettivo della prima parte del corso).2 ottobre: Campi ordinati, R è un campo ordinato, R^U non lo è se U ha almeno 2 elementi. Teoria formale dei campi ordinati. R è un modello della teoria. Valutazione a valori in P(U).
8 ottobre: Un modello a valori booleani per la teoria dei campi ordinati. Algebre di Boole. Caratterizzazioni. Esempi. Algebre di insiemi. Teorema di rappresentazione (con cenni di dim.)
9 ottobre: Proprietà di base delle algebre di Boole, Filtri di un'algebra di Boole, Teorema di Rappresentazione. Aperti regolari.
15 ottobre: Algebra di Boole complete: algebra degli aperti regolari e algebra di misura.
16 ottobre: CCC --> Completa. Richiamo su ordinali, cardinali, induzione e ricorsione transfinita e gerarchie dei V_α
22 ottobre: V^B. Appartenenza e uguaglianza in V^B. Sintassi, assiomi e regole di ZF. Interpretazione delle formule in contesto in V^B. Teorema di consistenza relativa.
23 ottobre: Gli assiomi logici e le regole di ZF sono validati da V^B.
5 novembre: V^B valida gli assiomi di estensionalità, separazione, unione, coppia, potenza e infinito.
6 novembre [2.67 ore]: parti, unione in V^B. Assiomi di rimpiazzamento e epsilon Induzione in V^B. Miscele. Mixing lemma. Principio del massimo. Nuclei. Esistenza dei nuclei.
12 novembre[2.66 ore]: V^B valida il lemma di Zorn.
13 novembre [2.67 ore]: L'indipendenza di CH.
II PARTE (20 ore)
19 novembre: BHK. Macchine a registro illimitato (URM). Funzioni parziali URM-computabili. Zero, successore e proiezioni sono URM-computabili. Le funzioni parziali URM-computabili sono chiuse rispetto alla composizione.
20 novembre (2.66 ore) : Le funzioni parziali URM-computabili sono chiuse rispetto alla ricorsione. Funzioni primitive ricorsive. Esempi. Le funzioni parziali URM-computabili sono chiuse rispetto all'operatore di minimo. Funzioni ricorsive. La funzione di Ackermann. Tutte le funzioni URM-computabili sono ricorsive.
26 novembre: Codifica delle funzioni computabili e macchina universale
27 novembre (2.67 ore): Algebre combinatorie parziali
3 dicembre: Algebre combinatoria parziali e strutture di algebra di Heyting derivate
4 dicembre (2.67 ore): Aggiunzioni.
10 dicembre: HA e Realizzabilità di Kleene.
11 dicembre: HA e Realizzabilità di Kleene.
17 dicembre: CT. MP. Existence Property. Disjunction property. LEM.
LEZIONE CONCLUSIVA (2 ore)
18 dicembre: Riepilogo e cenni ad un approccio categoriale.
DISPENSE e MATERIALE (verranno caricate man mano che il corso avanza, vi prego di segnalarmi refusi dato che si tratta della prima versione...)
[16/10] Prerequisiti di teoria degli insiemi [un qualsiasi libro di teoria degli insiemi, ad esempio Jech: Set Theory o Kunen: Set Theory, parti sugli ordinali, cardinali e induzione transfinita]
[1/10] Introduzione alla prima parte
Un esempio giocattolo (appunti gentilmente forniti da Matteo Capucci)
[2-8-9-15-16/10] Algebre di Boole
[22-23/10- 5-6/11] Modelli a valori booleani
[6-12-13/11] Forcing [Bell-Boolean valued models and independence proofs in set theory, parti del capitolo 1 e 2]
[19-20-26/11] Elementi di computabilità [Cutland- Computability: an introduction to recursive function theory, primi cinque capitoli]
27-11 PCA
03-12 Un'algebra di Heyting da una PCA [corrette]
04-12 Aggiunzioni e HA [corrette]
10/11-12 Modelli in una PCA
17-12 Risultati
18-12 Conclusioni
ESEMPI DI POSSIBILI ARGOMENTI PER IL SEMINARIO D'ESAME
(in corsivo approfondimenti)
Algebra di Boole e teorema di rappresentazione.
L'algebra di Boole completa degli aperti regolari.
L'algebra di Boole completa derivante da uno spazio di probabilità.
I modelli booleani per ZF. Come sono definiti e come si verifica la validità degli assiomi.
Validità dell'assioma di scelta nei modelli booleani.
La dimostrazione dell'indipendenza di CH.
Macchine a registro illimitato ed equivalenza tra funzioni computabili e ricorsive.
La funzione di Ackermann.
Altri modelli di computazione.
Il lemma s-m-n e il teorema della macchina universale.
Algebre combinatorie parziali e loro proprietà fondamentali.
La struttura di PCA sui numeri naturali.
Un altro esempio di PCA.
La realizzabilità di Kleene.
La dimostrazione del fatto che HA ha l'Existence property.
Iperdottrine.
Tripos-to-topos nel dettaglio.
TESTI CONSIGLIATI
1.Cutland, Nigel, Computability: an introduction to recursive function theory. --: Cambridge University Press, 1980.
2. van Oosten, Jaap, Realizability: an introduction to its categorical side. --: Elsevier, 2008.
3. Bell, John Lane, Boolean-valued models and independence proofs in set theory. --: Oxford: Claredon Press, 1977.
APPELLI D'ESAME
22 gennaio
5 febbraio
25 giugno
9 luglio
2 settembre
