VENERDI 10 GENNAIO ALLE ORE 8:45 aula 2AB40
SEMINARIO DI INTEGRAZIONE DEL CORSO
tenuto dallo studente del V anno Matteo Cappucci con titolo
"Uno sguardo ai topos."
Ricevimento: su appuntamento
Struttura del corso:
Le prime 10 lezioni avranno come scopo finale la dimostrazione dell'indipendenza dell'ipotesi del continuo (CH) dalla teoria degli insiemi ZFC.
Le successive 8 lezioni avranno come scopo finale la dimostrazione dell'indipendenza della Tesi di Church formale (CT) dall'aritmetica intuizionista di Heyting (HA).
Le ultime 6 lezioni avranno lo scopo di introdurre alla logica categoriale.
Lezioni:
03/10/19 ore 14:30 2AB40 Cardinalità, teoremi di Cantor-Schroeder-Bernstein e Cantor. Ipotesi del continuo. Buoni ordinamenti. Ordinali. [Kunen cap.1]
04/10/19 ore 08:30 2AB40 Proprietà degli ordinali. Assioma di scelta e teorema del Buon Ordinamento. Ricadute matematiche dell'Ipotesi del continuo. [Kunen cap.1]
10/10/19 ore 14:30 2AB40 Il sistema formale ZF. Classi. Induzione e ricorsione transfinita. La gerarchia dei V_alfa. L'assioma di fondazione e di epsilon-induzione e la conseguenza che V=WF. [Kunen cap.1 e 3]
11/10/19 ore 08:30 2AB40 Relativizzazione. Teorema sulla validità della logica nella relativizzazione a classi non vuote. Teorema di consistenza relativa attraverso la relativizzazione. Con(ZF^-)-->Con(CL=+Ext+Sep+Ogni insieme è vuoto). Le classi transitive soddisfano l'estensionalità. Una condizione sufficiente affinché una classe soddisfi la separazione. WF e V_alfa soddisfano estensionalità e separazione. WF e V_alfa con alfa limite soddisfano l'assioma di coppia. [Kunen cap.4]
17/10/19 ore 14:30 2AB40 Formule assolute, Formule Delta0, esempi, Con(ZF-)-->Con(ZF-Inf+nonInf), Con(ZF-)-->Con(ZF), ZF-|-Con(Z). Non si può dimostrare in ZF- che un V_alfa con alfa limite maggiore di omega soddisfi lo schema di rimpiazzamento. [Kunen cap.4]
18/10/19 ore 08:30 2AB40 Composizione di formule assolute e funzioni assolute. Alcuni esempi. Con(ZF)-->Con(ZFC+Inf-Inf), Con(ZFC-)--->Con(ZFC). Cardinali fortemente inaccessibili.
Se K è fortemente inaccessibile, allora V_k soddisfa ZFC. (Con(ZFC)-->(ZFC non|- Esistono f.i.)). ZFC+Esistono cardinali f.i. |-Con(ZFC). Cenni su chiusure transitive e H(k). Cenni su H(omega_1) e su Con(ZFC)-->Con(ZFC-P+ogni insieme è al più numerabile). [Kunen cap.4]
24/10/19 ore 14:30 2AB40 Df(A,n) e sua enumerabilità. D(A) e sue proprietà. La gerarchia dei costruibili (L_alpha). Proprietà di base degli L_alpha. Buon ordinamento di L. [Kunen cap.5 e 6]
25/10/19 ore 08:30 2AB40 ZF+V=L|-AC. Cenni al teorema di riflessione. Cenni alla chiusura rispetto alla ritorsione transfinita delle formule assolute per modelli di ZF-P. L è un modello di ZF+V=L. Con(ZF)-->Con(ZF+V=L), Con(ZF)-->Con(ZFC). [Kunen cap.4, 5 e 6]
31/10/19 ore 14:30 2AB40 V=L-->GCH, Con(ZF)-->Con(ZFC+GCH). Un esempio-giocattolo di modello booleano. [Kunen cap. 6][Appunti a cura di Matteo Cappucci]
07/11/19 ore 14:30 2AB40* Algebre di Heyting, algebre di Boole. Proprietà elementari ed esempi. Algebre di Boole complete. Aperti regolari di una topologia. [Note del docente]
08/11/19 ore 08:30 2AB40 Aperti regolari di una topologia. Modelli booleani di ZFC parte 1. [Note del docente 1, 2]
14/11/19 ore 14:30 2AB40* Modelli booleani di ZFC parte 2.
15/11/19 ore 08:30 2AB40 Modelli booleani di ZFC parte 2.
22/11/19 ore 08:30 2AB40 Se ZFC vale nella metameria V^B soddisfa ZFC. Un modello booleano in ZFC+GCH di ZFC+ nonCH. Con(ZF)-->Con(ZFC+ nonCH). CH è indipendente da ZFC. [vedi pagine forcing]
28/11/19 ore 14:30 2AB40 PA, HA, double negation translation. Con(HA)--->Con(PA). Con(ZF-Inf)-->Con(PA)
29/11/19 ore 08:30 2AB40 Funzioni primitive ricorsive. Codifica di Ackermann. Con(PA)-->Con(ZF-Inf).
05/12/19 ore 14:30 2AB40* Funzioni ricorsive e loro proprietà. URM machines. BHK. Realizzabilità [note del prof. T.Streicher]
06/12/19 ore 08:30 2AB40 Realizzabilità
12/12/19 ore 14:30 2AB40* Con(HA)--->Con(HA+CT). Categorie. Funtori. Trasformazioni naturali. (per le categorie)
13/12/19 ore 08:30 2AB40 Categorie cartesiane. Pullback. Iperdottrine del primo ordine. Set e il funtore "Parti". Il funtore LT sulla categoria di contesti e termini di una categoria del primo ordine.
20/12/19 ore 08:30 2AB40 Interpretazioni come morfismi tra iperdottrine del primo ordine.
* La lezione durerà 2 ore, anziché 1,5 ore.
Note del corso: ABBOZZO DI DISPENSE SULLE ULTIME LEZIONI
Testi di riferimento:
Kunen: Set Theory.
Bell: Set theory: Boolean valued models and independence proofs
Troesltra, van Dalen: Constructivism in Mathematics. An introduction.vol.1
van Oosten: Realizability. An introduction to its categorical side.
Mac Lane: Category theory for the working mathematician,
Esame: prova orale su appuntamento.
Possibili argomenti per esame:
Con(ZF)-->Con(ZF-Inf+nonInf)
Con(ZF-)-->Con(ZF) e Con(ZFC-)-->Con(ZF)
Gli H(\kappa)*
Con(ZFC)--> Con(ZF-P+tutti gli insiemi sono al più numerabili)*
Proprietà degli L_alpha
Dimostrazione dettagliata di Con(ZF)-->Con(ZFC+CH)
I modelli booleani della teoria degli insiemi soffiano AC se la metateoria lo soddisfa.
Dimostrazione dettagliata di Con(ZF)-->Con(ZFC+nonCH)
L'algebra di Boole completa della misura**Teorema di Stone per le algebre di Heyting**
Teorema di Stone per le algebre di Boole*
Gli aperti regolari di una topologia
Con(HA)-->Con(PA)
La codifica di Ackermann: Con(PA)-->Con(ZFC-Inf)*
La funzione di Ackermann: un esempio di funzione ricorsiva totale non primitiva ricorsivi**Le macchine di Turing**
Le algebre combinatorie parziali**
BHK e realizzabilità
Rappresentatività delle funzioni ricorsive con URM*
Existence properties**
CT e PA|-nonCT_F per qualche F
Con(HA)-->Con(HA+CT)
Dimostrazione di EP e DP per HA*
Proprietà delle categorie sintattiche*
Le iperdottrine del prim'ordine*
Interpretazioni come trasformazioni naturali*
La teoria dei tripos**
Tripos-to-topos**
